Hurwitzsche Zeta-Funktion

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion (nach Adolf Hurwitz) ist eine der vielen bekannten Zeta-Funktionen, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt.

Die formale Definition für komplexe lautet

Die Reihe konvergiert absolut und kann zu einer meromorphen Funktion erweitert werden für alle

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist dann

Analytische Fortsetzung

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion kann zu einer meromorphen Funktion fortgesetzt werden, sodass sie für alle komplexen definiert ist. Bei liegt ein einfacher Pol mit Residuum 1 vor.

Es gilt dann

unter Verwendung der Gammafunktion und der Digammafunktion .

Reihendarstellungen

Helmut Hasse fand 1930[1] die Reihendarstellung

für und .

Laurent-Entwicklung

Die Laurent-Entwicklung um lautet:

mit . sind die Verallgemeinerten Stieltjes-Konstanten:

für

Fourier-Reihe

Die Fourier-Reihe lautet:

mit .[2]

Integraldarstellung

Die Integraldarstellung lautet

wobei und

Hurwitz-Formel

Die Formel von Hurwitz ist eine Darstellung der Funktion für und Sie lautet:[3]

wobei

Dabei bezeichnet den Polylogarithmus.

Funktionalgleichung

Für alle und gilt

Werte

Nullstellen

Da sich für und die Riemannsche Zeta-Funktion bzw. diese multipliziert mit einer einfachen Funktion von ergibt, führt dies zu der komplizierten Nullstellenberechnung der Riemannschen Zeta-Funktion mit der Riemannschen Vermutung.

Für diese hat die Hurwitzsche Zeta-Funktion keine Nullstellen mit einem Realteil größergleich 1.

Für und gibt es dagegen Nullstellen für jeden Steifen mit einem positiv-reellen . Dies wurde für rationale und nicht-algebraische-irrationale von Davenport und Heilbronn[4] bewiesen; für algebraische irrationale von Cassels.[5]

Rationale Argumente

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion tritt etwa im Zusammenhang mit den Euler-Polynomen auf:[6]

und

Ferner gilt

mit . Dabei werden und wie folgt mit der legendreschen Chi-Funktion definiert:

bzw.

Weitere

Es gilt (Auswahl):[7]

(Riemannsche Zeta-Funktion, Catalansche Konstante)

Ableitungen

Es gilt

mit sowie und [8].

Die Ableitungen nach ergeben sich zu

für und [9] unter Verwendung des Pochhammer-Symbol .

Beziehungen zu anderen Funktionen

Bernoulli-Polynome

Die im Abschnitt Hurwitz-Formel definierte Funktion verallgemeinert die Bernoulli-Polynome :

Alternativ kann man sagen, dass

Für ergibt das

Jacobische Thetafunktion

Gegeben ist am Anfang des Artikels diese Formel:

Die Abel-Plana-Summenformel definiert die Hurwitzsche Zetafunktion sowohl für positive als auch für negative Werte :

Für alle positiven Werte stimmen die beiden Formeln für die Hurwitzsche Zetafunktion miteinander überein.

Die Mathematiker Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson definierten die Jacobische Thetafunktion[10][11][12] auf diese Weise:

Basierend auf der nun genannten Abel-Plana-Definition für die Hurwitzsche Zetafunktion kann dann diese Identität für folgendes Integral der Jacobischen Thetafunktion aufgestellt werden:

In dieser Formel wird neben der Hurwitzschen auch die Riemannsche Zetafunktion eingesetzt.

Für alle Zahlenpaare a und n mit den Kriterien und ist diese Formel gültig.

Beispielsweise gilt mit und :

Polygammafunktion

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion verallgemeinert die Polygammafunktion auf nicht-ganze Ordnungen :

mit der Euler-Mascheroni-Konstanten .[13]

Auftreten

Die Hurwitzschen Zeta-Funktionen finden an verschiedenen Stellen Anwendung, nicht nur in der Zahlentheorie. Sie tritt bei Fraktalen und dynamischen Systemen ebenso wie im zipfschen Gesetz auf.

In der Teilchenphysik kommt sie in einer Formel von Julian Schwinger[14] vor, die ein genaues Resultat für die Paarbildungs-Rate von in der Dirac-Gleichung beschriebenen Elektronen in Feldern gibt.

Spezialfälle und Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung der Hurwitzschen Zeta-Funktion bietet

,

so dass

Diese Funktion wird als Lerchsche Zeta-Funktion bezeichnet.

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion lässt sich durch die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion ausdrücken:[15]

mit

Außerdem gilt mit der Meijerschen G-Funktion:[16]

mit .

Einzelnachweise

  1. Helmut Hasse: Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe In: Mathematische Zeitschrift. Band 32, 1930, S. 458–464.
  2. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/06/03/01/01/0001/
  3. Eric W. Weisstein: Hurwitz's Formula. In: MathWorld (englisch).
  4. H. Davenport und H. Heilbronn: On the zeros of certain Dirichlet series. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 11, 1936, S. 181–185
  5. J. W. S. Cassels: Footnote to a note of Davenport and Heilbronn. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 36, 1961, S. 177–184
  6. Djurdje Cvijović und Jacek Klinowski: Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments. In: Mathematics of Computation. Band 68, 1999, S. 1623–1630.
  7. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/03/ShowAll.html
  8. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/01/01/0001/
  9. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/02/01/0001/
  10. Eric W. Weisstein: Jacobi Theta Functions. In: MathWorld (englisch).
  11. http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf
  12. DLMF: 20.5 Infinite Products and Related Results. Abgerufen am 13. August 2022.
  13. Oliver Espinosa and Victor H. Moll: A Generalized Polygamma Function auf arXiv.org e-Print archive 2003.
  14. J. Schwinger: On gauge invariance and vacuum polarization. In: Physical Review. Band 82, 1951, S. 664–679.
  15. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/26/01/02/01/
  16. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/26/02/01/01/