Schwartzman begann mit sieben Jahren Tennis zu spielen. Erstmals bei einem Challenger-Turnier erfolgreich war er in seiner Heimat Buenos Aires, wo er im Oktober 2012 im Alter von 20 Jahren seinen ersten Titel holte. Mit einer Wildcard ausgestattet, erreichte er Anfang des Folgejahres das Achtelfinale des dortigen 250er-Turniers, wo er in zwei Sätzen an Tommy Robredo scheiterte. In Acapulco schaffte er über die Qualifikationsrunden den Einzug ins Hauptfeld, scheiterte dort jedoch in Runde eins am späteren Sieger des Turniers Rafael Nadal.

Von Mai bis Oktober 2014 gelangen Schwartzman vier weitere Siege bei Challenger-Turnieren, zudem gewann er die zum Saisonabschluss ausgetragenen ATP Challenger Tour Finals. Durch diese Erfolge konnte er sich erstmals und danach dauerhaft in den Top-100 der Weltrangliste platzieren. Erstmals bei Grand-Slam-Turnieren trat der Argentinier ebenfalls 2014 in Erscheinung. Bei den French Open gewann er nach erfolgreicher Qualifikation sein Erstrundenmatch gegen den portugiesischen Qualifikanten Gastão Elias, musste aber in der zweiten Runde gegen Roger Federer antreten, wo er in drei Sätzen verlor. Beim 250er-Turnier von Kitzbühel gewann er gegen den damals 17-jährigen Alexander Zverev mit 6:1, 6:0. Bei den US Open war Schwartzman bereits fürs Hauptfeld qualifiziert und traf dort in der ersten Runde auf den topgesetzten Novak Đoković, gegen den er in drei Sätzen verlor.

Erstmals bei einem Masters-Turnier war Schwartzman im März 2015 in Indian Wells am Start. Nach gewonnenem Erstrundenmatch traf er in der zweiten Runde auf den späteren Finalisten Roger Federer, der ihn in zwei Sätzen bezwang. Beim 250er-Turnier von Istanbul rund einen Monat später kam Schwartzman bis ins Halbfinale. Auch hier verlor er dann gegen Federer, konnte aber diesmal den ersten Satz für sich entscheiden. Durch diesen Erfolg erreichte er mit dem 57. Platz in der Weltrangliste sein damaliges Karrierehoch. Danach fiel er zwar wieder leicht zurück, konnte sich aber in den Rängen zwischen 60 und 90 etablieren. Nach überstandener Erstrunde bei den French Open spielte Schwartzman erstmals in seiner Karriere ein Fünfsatzmatch, das er bei gewonnenem ersten und dritten Satz aber gegen Gaël Monfils verlor. Bei den 250er-Turnieren von Kitzbühel und Winston-Salem kam er jeweils bis ins Achtelfinale. Auch bei den US Open überstand er die erste Runde, in der zweiten Runde verlor er in drei Sätzen gegen Rafael Nadal. Danach spielte Schwartzman bis zum Ende der Saison verschiedene Challenger-Turniere in Südamerika. Bei fast allen war er der topgesetzte Spiele, kam bei vier Turnieren ins Finale, konnte aber keines davon gewinnen.

Die Saison 2016 lief bei den höherklassigen Turnieren wenig erfolgreich für Schwartzman: Bei allen gespielten Masters-Turnieren und allen vier Grand Slams schied er bereits in der ersten Runde aus, lediglich beim 500er-Turnier von Rio de Janeiro im Februar kam er bis ins Achtelfinale. Erfolgreicher war er hingegen bei verschiedenen 250er-Turnieren. Sein größter Erfolg war der erste Titelgewinn auf ATP-Ebene im Mai beim ATP-250-Turnier von Istanbul, wo er im Finale den auf der Position 2 gesetzten Grigor Dimitrow in drei Sätzen bezwang. Beim 250er-Turnier in Antwerpen kam er im Oktober ebenfalls ins Finale, unterlag dort aber Richard Gasquet in zwei Sätzen. Des Weiteren erreichte er das Viertelfinale von Chengdu, das er diesmal in drei Sätzen gegen Dimitrow verlor, sowie das Achtelfinale bei vier weiteren 250er-Turnieren. Gegen Ende des Jahres gewann er in Barranquilla und Montevideo außerdem die letzten beiden Challenger-Turniere, die er in seiner Karriere spielte. Bis zum Saisonende erreichte Schwartzman damit beinahe die Top-50 der Weltrangliste.

Die Saison 2017 begann für Schwartzman erfolgreicher als die Vorsaison. Bei den Australian Open besiegte er in der ersten Runde den auf Position 22 gesetzten Pablo Cuevas, musste sich aber in der zweiten Runde dem ungesetzten Steve Darcis geschlagen geben. In Rio de Janeiro und São Paulo kam er jeweils bis ins Viertelfinale, dort verlor er gegen die späteren Turniersieger Dominic Thiem bzw. Pablo Cuevas.

2017 erreichte Schwartzman in Monte Carlo erstmals das Viertelfinale eines Masters-Turniers, wo er Rafael Nadal in zwei Sätzen unterlag. Bei den French Open bestritt er zwei Matches über fünf Sätze: In der ersten Runde gewann er gegen den damals 19-jährigen Lucky Loser Andrei Rubljow mit 9:7 im Entscheidungssatz, in der dritten Runde verlor er nach gewonnenem ersten und dritten Satz gegen den Vorjahressieger Novak Đoković. In Istanbul, wo er im Vorjahr seinen ersten ATP-Titel gewonnen hatte, kam er bis ins Halbfinale und verlor dort gegen Marin Cilic. Drei Jahre in Folge hatte er damit bei diesem Turnier also immer mindestens das Halbfinale erreicht. In Båstad und Hamburg erreichte er die Viertelfinals der dortigen Turniere.

Beim Masters-Turnier von Montreal – mittlerweile unter den Top-40 der Welt platziert – gelang Schwartzman gegen Dominic Thiem, die Nr. 7 der Welt, erstmals ein Sieg gegen einen Top-10-Spieler. In der zweiten Runde wehrte er im entscheidenden dritten Satz insgesamt vier Matchbälle in drei verschiedenen Games ab und bezwang den Österreicher im vierten Aufeinandertreffen nach 2:5-Rückstand noch mit 7:5. Schwartzman kam bei dem Turnier – wie auch beim Masters in Monte Carlo drei Monate zuvor – erneut ins Viertelfinale, dort unterlag er Robin Haase in drei Sätzen. Bei den kurz darauf folgenden US Open besiegte er in der dritten Runde erneut die Nr. 7 der Welt – diesmal Marin Cilic – in vier Sätzen. Er kam damit erstmals bis ins Viertelfinale eines Grand-Slam-Turniers, wo er dann Pablo Carreño Busta in drei Sätzen unterlag.

Erstmals ins Halbfinale eines 500er-Turniers kam Schwartzman im Oktober in Tokio, wo er dem späteren Turniersieger David Goffin unterlag. Wie im Vorjahr erreichte er auch 2017 das Finale des Turniers von Antwerpen, verlor diesmal aber gegen Jo-Wilfried Tsonga. In Wien kam er bis ins Viertelfinale; im Achtelfinale hatte er gegen Pablo Carreño Busta in drei Sätzen gewonnen, der ihn bei den US Open geschlagen hatte. Das Jahr beendete Schwartzman auf Platz 26 der Weltrangliste.

Bei den Australian Open zu Beginn des Jahres kam Schwartzman erstmals ins Achtelfinale, dort unterlag er Rafael Nadal in vier Sätzen. Der bislang größte Turniersieg seiner Karriere folgte kurz darauf. Beim 500er-Turnier von Rio de Janeiro setzte er sich im Finale gegen Fernando Verdasco durch und gewann ohne Satzverlust im gesamten Turnier seinen ersten und bislang einzigen Titel auf 500er-Ebene. Durch diesen Erfolg konnte er sich auch erstmals in den Top-20 der Weltrangliste platzieren und diese Position über ein Jahr lang halten.

Bei den French Open war Schwartzman auf Position 11 gesetzt und überstand ohne Satzverlust die ersten drei Runden. Im Achtelfinale kam es zu einem bemerkenswerten Duell gegen den Südafrikaner Kevin Anderson. Anderson dominierte lange die Partie und schlug beim Stand von 6:1, 6:2, 5:4 zum Matchgewinn auf. Schwartzman konnte jedoch den Satz noch drehen und mit 7:5 für sich entscheiden. Nach drei Breaks in den ersten drei Games zugunsten von Anderson bot sich im vierten Satz die gleiche Situation wie im Satz zuvor: Anderson schlug beim Stand von 5:4 erneut zum Matchgewinn auf, gab sein Aufschlagspiel dieses Mal aber sogar zu Null ab und machte auch im kurz darauf folgenden Tiebreak keinen einzigen Punkt. Im entscheidenden fünften Satz konnte in den ersten fünf Games keiner der Spieler sein Aufschlagspiel halten. Beim Stand von 2:3 entschied Schwartzman dann die letzten vier Spiele für sich und gewann zum ersten Mal in seiner Karriere nach 0:2-Satzrückstand noch ein Match. Es war sein dritter Sieg gegen einen Top-10-Spieler nach den beiden Erfolgen gegen Thiem und Cilic im Jahr zuvor. Im darauffolgenden Viertelfinale kam es erneut zum Duell gegen Rafael Nadal, der Schwartzman drei Wochen zuvor im Achtelfinale des Masters von Madrid schon besiegt hatte. Schwartzman konnte den ersten Satz gewinnen, verlor dann aber die folgenden drei Sätze. Durch den Erfolg bei den French Open kletterte der Argentinier bis auf Platz 11 der Weltrangliste.

Die besten Platzierungen der weiteren Saison waren das Halbfinale in Antwerpen (Niederlage gegen Gaël Monfils), das Viertelfinale in Hamburg (Niederlage gegen Leonardo Mayer) und das Achtelfinale beim Paris Masters (Niederlage gegen Alexander Zverev).

Das Erreichen der dritten Runde bei den Australian Open war für Schwartzman mit einiger Mühe verbunden. In der zweiten Runde hatte er gegen Denis Kudla bereits zwei Sätze gewonnen, konnte allerdings erst im fünften Satz die Partie für sich entscheiden. In der folgenden Runde schied er dann in vier Sätzen gegen Tomáš Berdych aus. Erfolgreicher lief für ihn sein Heimturnier in Buenos Aires. Im Halbfinale besiegte er nach verlorenem ersten Satz zum zweiten Mal in seiner Karriere Dominic Thiem, das Finale verlor er hingegen deutlich in zwei Sätzen gegen Marco Cecchinato. Seinen Vorjahrestitel in Rio de Janeiro konnte er nicht verteidigen, da er in der ersten Runde verletzungsbedingt gegen Pablo Cuevas aufgeben musste. Dadurch verschlechterte er sich etwas in der Weltrangliste und belegte im darauffolgenden halben Jahr Plätze zwischen 20 und 30.

Im Mai erreichte Schwartzman in Rom erstmals das Halbfinale eines Masters-Turniers; dies gelang ihm ohne Satzverlust. Im Halbfinale traf er auf den Weltcupführenden Novak Đoković, dem er in drei Sätzen unterlag. Nach einem Fünfsatzsieg in der ersten Runde bei den French Open gegen Márton Fucsovics schied er in der zweiten Runde gegen seinen Landsmann Leonardo Mayer in vier Sätzen aus. In Wimbledon erreichte er mit dem Einzug in die dritte Runde sein bestes Ergebnis dort; gegen Matteo Berrettini musste er sich aber in einem fast viereinhalb Stunden dauernden Fünfsatzmatch geschlagen geben. Wenige Wochen später holte Schwartzman in Los Cabos den dritten ATP-Titel seiner Karriere. Der Sieg im dort ausgetragenen 250er-Turnier in zwei Sätzen gegen Taylor Fritz war sein erster Erfolg auf Hartplatz.

Die US Open, wo Schwartzman wie zwei Jahre zuvor bis ins Viertelfinale kam, waren das erfolgreichste Grand-Slam-Turnier des Jahres 2019 für den Argentinier. Im Achtelfinale hatte er nach verlorenem ersten Satz den auf Nr. 6 gesetzten Alexander Zverev in vier Sätzen bezwungen. Im Viertelfinale verlor er gegen Rafael Nadal – zum dritten Mal innerhalb von rund anderthalb Jahren bei einem Grand-Slam-Turnier und zum achten Mal in seiner Karriere. Durch diesen Erfolg rückte er aber wieder dauerhaft in die Top-20 der Weltrangliste vor.

Schwartzmans erfolgreichstes Turnier des restlichen Jahres war das 500er-Turnier in Wien. Nach Zweisatzsiegen gegen Karen Chatschanow (Viertelfinale) und Gaël Monfils (Halbfinale) gewann er im Finale den ersten Satz gegen Dominic Thiem, musste sich aber in drei Sätzen geschlagen geben.

Bei den Australian Open zu Beginn des Jahres kam Schwartzman zum zweiten Mal nach 2018 ins Achtelfinale, das er ohne Satzverlust erreichte. Dort unterlag er dem späteren Sieger Novak Đoković in drei Sätzen. Beim ATP-250-Turnier von Córdoba kam er bis ins Finale, wo er Christian Garín in drei Sätzen unterlag. Bei seinem Heimturnier in Buenos Aires kam es im Viertelfinale zu einer denkwürdigen Begegnung mit Pablo Cuevas. Schwartzman wehrte im Tiebreak des zweiten Satzes vier Matchbälle von Cuevas ab – beim Stand von 5:6, 8:9, 9:10 und 10:11 – und gewann schließlich den Tiebreak mit 13:11. Im dritten Satz lag er nach gewonnenem Break 4:1 in Führung, Cuevas konnte aber auf 4:4 ausgleichen und wehrte nun beim Stand von 4:5 einen Matchball Schwartzmans ab. Durch eine Leistenverletzung konnte sich Schwartzman zum Ende hin nur noch eingeschränkt bewegen, hatte aber dennoch beim Stand von 6:5 und 40:15 zwei weitere Matchbälle. Den ersten konnte Cuevas abwehren, sein Doppelfehler beim zweiten Matchball führte nach 3 Stunden und 41 Minuten Spielzeit aber zum Sieg Schwartzmans mit 5:7, 7:6 (13:11) und 7:5. Durch seine Verletzung konnte der Argentinier im Halbfinale jedoch nicht antreten und musste das Turnier kampflos abgeben.

Die Wiederaufnahme der Saison nach der Coronapause lief für Schwartzman zunächst eher schleppend. Bei den US Open verlor er nach zwei gewonnenen Sätzen in der ersten Runde noch gegen Cameron Norrie in einer Partie mit ungewöhnlich vielen Breakbällen: Schwartzman konnte 8 von 27, Norrie 11 von 31 Breakbällen nutzen. Beim Masters in Rom erreichte Schwartzman hingegen erstmals das Finale eines Masters-Turniers. Im Viertelfinale konnte er im zehnten Anlauf mit 6:2, 7:5 erstmals gegen Rafael Nadal gewinnen. Er bezeichnete den Sieg danach als das beste Spiel seiner Karriere. Im Halbfinale gewann er in 3 Stunden und 15 Minuten gegen Denis Shapovalov mit 6:4, 5:7, 7:6 (7:4). Seinem Finalgegner Novak Đoković, gegen den er im Vorjahr auch das Halbfinale von Rom verloren hatte, musste er sich aber mit 5:7, 3:6 geschlagen geben.

Ähnlich erfolgreich waren die French Open für den Argentinier. Ohne Satzverlust gewann er die ersten vier Runden und zog ins Viertelfinale ein, wo er mit Dominic Thiem ein über fünf Stunden dauerndes Fünf-Satz-Match bestritt. Schwartzman gewann den ersten Satz mit 7:1 im Tiebreak, der Österreicher konnte zunächst mit 7:5 den Satzausgleich herstellen und dann mit 8:6 im Tiebreak des dritten Satzes selbst in Führung gehen. Schwartzman gewann mit 7:5 den Tiebreak des vierten Satzes und konnte danach den entscheidenden Satz mit 6:2 für sich entscheiden. Im Halbfinale unterlag Schwartzman dem späteren Turniersieger Nadal dann glatt in drei Sätzen. Der Erfolg bei den French Open bedeutete für ihn mit Rang 8 aber den erstmaligen Einzug in die Top-10 der Weltrangliste.