„Theta-Operator (Teichmüller-Theorie)“ – Versionsunterschied
| [gesichtete Version] | [gesichtete Version] |
wird gleich weiter ausgebaut | wird gleich weiter ausgebaut | ||
| Zeile 4: | Zeile 4: | ||
Sei <math>\pi\colon Y\to X</math> eine [[Überlagerung (Topologie)|Überlagerung]] [[Riemannsche Fläche|Riemannscher Flächen]]. Seien <math>\Omega(Y),\Omega(X)</math> die [[Banach-Raum|Banach-Räume]] der [[Holomorphes quadratisches Differential|holomorphen quadratischen Differentiale]] und sei <math>\phi\in\Omega(Y)</math>. Für jede eingebettete Kreisscheibe <math>U\subset X</math> ist die Überlagerung <math>\pi^{-1}(U)\to U</math> trivial, für jede [[Zusammenhängender Raum#Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] <math>V_i\subset\pi^{-1}(U)</math> hat man also einen [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitt]] <math>s_i:U\to V_i</math>. In einer [[Komplexe Mannigfaltigkeit#Komplexer Atlas|holomorphen Karte]] für <math>V_i</math> ist <math>\phi\mid_{V_i}=\phi dz^2</math> und die Reihe <math>\sum_i\phi_i\circ s_i(u)(s_i^\prime(u))^2</math> ist [[absolut konvergent]] auf [[Kompakter Raum|kompakten]] Teilmengen von <math>U</math>, definiert dort also eine [[holomorphe Funktion]], welche unter [[Komplexe Mannigfaltigkeit#Komplexer Atlas|Kartenwechseln]] wie ein holomorphes quadratisches Differential transformiert, also ein Element aus <math>\Omega(X)</math> definiert. Der so definierte Operator | Sei <math>\pi\colon Y\to X</math> eine [[Überlagerung (Topologie)|Überlagerung]] [[Riemannsche Fläche|Riemannscher Flächen]]. Seien <math>\Omega(Y),\Omega(X)</math> die [[Banach-Raum|Banach-Räume]] der [[Holomorphes quadratisches Differential|holomorphen quadratischen Differentiale]] und sei <math>\phi\in\Omega(Y)</math>. Für jede eingebettete Kreisscheibe <math>U\subset X</math> ist die Überlagerung <math>\pi^{-1}(U)\to U</math> trivial, für jede [[Zusammenhängender Raum#Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] <math>V_i\subset\pi^{-1}(U)</math> hat man also einen [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitt]] <math>s_i:U\to V_i</math>. In einer [[Komplexe Mannigfaltigkeit#Komplexer Atlas|holomorphen Karte]] für <math>V_i</math> ist <math>\phi\mid_{V_i}=\phi dz^2</math> und die Reihe <math>\sum_i\phi_i\circ s_i(u)(s_i^\prime(u))^2</math> ist [[absolut konvergent]] auf [[Kompakter Raum|kompakten]] Teilmengen von <math>U</math>, definiert dort also eine [[holomorphe Funktion]], welche unter [[Komplexe Mannigfaltigkeit#Komplexer Atlas|Kartenwechseln]] wie ein holomorphes quadratisches Differential transformiert, also ein Element aus <math>\Omega(X)</math> definiert. Der so definierte Operator | ||
:<math>\ | :<math>\Theta=\Theta_{Y/X}:\Omega(Y)\to\Omega(X)</math> | ||
ist der zu der Überlagerung <math>\pi\colon Y\to X</math> assoziierte ''Theta-Operator''. | ist der zu der Überlagerung <math>\pi\colon Y\to X</math> assoziierte ''Theta-Operator''. | ||
== Norm des Theta-Operators == | |||
Es gilt offensichtlich <math>\Vert\Theta\Vert\le 1</math> für die [[Operatornorm]] des Theta-Operators. [[Curtis McMullen|McMullen]]<ref>C. McMullen: ''Iteration on Teichmüller space.'' Invent. Math. 99, No. 2, 425-454 (1990).</ref> bewies die strikte Ungleichung <math>\Vert\Theta\Vert <1</math>. Verbesserte Abschätzungen der Operatornorm wurden von Barrett-Diller<ref>D. E. Barrett, J. Diller: ''Contraction properties of the Poincaré series operator.'' Mich. Math. J. 43, No. 3, 519-538 (1996).</ref> und Cremaschi-Dello Schiavo<ref>T. Cremaschi, L. Dello Schiavo: ''Effective contraction of skinning maps.'' Proc. Am. Math. Soc., Ser. B 9, 445-459 (2022).</ref> bewiesen. | |||
== Einzelnachweise == | |||
<references/> | |||
[[Kategorie:Funktionentheorie]] | [[Kategorie:Funktionentheorie]] | ||
Version vom 1. Februar 2023, 18:59 Uhr
In der Mathematik, speziell in der Teichmüller-Theorie bezeichnet man als Theta-Operator einen Operator, dessen Kontraktionseigenschaften eine wesentliche Rolle im Beweis der Geometrisierung von Haken-Mannigfaltigkeiten spielen.
Definition
Sei eine Überlagerung Riemannscher Flächen. Seien die Banach-Räume der holomorphen quadratischen Differentiale und sei . Für jede eingebettete Kreisscheibe ist die Überlagerung trivial, für jede Zusammenhangskomponente hat man also einen Schnitt . In einer holomorphen Karte für ist und die Reihe ist absolut konvergent auf kompakten Teilmengen von , definiert dort also eine holomorphe Funktion, welche unter Kartenwechseln wie ein holomorphes quadratisches Differential transformiert, also ein Element aus definiert. Der so definierte Operator
ist der zu der Überlagerung assoziierte Theta-Operator.
Norm des Theta-Operators
Es gilt offensichtlich für die Operatornorm des Theta-Operators. McMullen[1] bewies die strikte Ungleichung . Verbesserte Abschätzungen der Operatornorm wurden von Barrett-Diller[2] und Cremaschi-Dello Schiavo[3] bewiesen.
Einzelnachweise
- ↑ C. McMullen: Iteration on Teichmüller space. Invent. Math. 99, No. 2, 425-454 (1990).
- ↑ D. E. Barrett, J. Diller: Contraction properties of the Poincaré series operator. Mich. Math. J. 43, No. 3, 519-538 (1996).
- ↑ T. Cremaschi, L. Dello Schiavo: Effective contraction of skinning maps. Proc. Am. Math. Soc., Ser. B 9, 445-459 (2022).
