„Kolmogorow-Smirnow-Test“ – Versionsunterschied

Der Kolmogorow-Smirnow-Test (KS-Test) (nach Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow und Nikolai Wassiljewitsch Smirnow) ist ein statistischer Test auf Übereinstimmung zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Mit seiner Hilfe kann anhand von Zufallsstichproben geprüft werden, ob

zwei Zufallsvariablen die gleiche Verteilung besitzen oder
eine Zufallsvariable einer zuvor angenommenen Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt.

Im Rahmen des letzteren (Einstichproben-)Anwendungsproblems spricht man auch vom Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstest (KSA-Test).

Konzeption

Die Konzeption soll anhand des Anpassungstests erläutert werden, wobei der Vergleich zweier Merkmale analog zu verstehen ist. Man betrachtet ein statistisches Merkmal $X$ , dessen Verteilung in der Grundgesamtheit unbekannt ist. Die zweiseitig formulierten Hypothesen lauten dann:

Nullhypothese :

\!\,H_{0}\colon F_{X}(x)=F_{0}(x)

(Die Zufallsvariable $X$ besitzt die Wahrscheinlichkeitsverteilung $F_{0}$ .)

Alternativhypothese :

H_{1}\colon F_{X}(x)\neq F_{0}(x)

(Die Zufallsvariable $X$ besitzt eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung als $F_{0}$ .)

Der Kolmogorow-Smirnow-Test vergleicht die empirische Verteilungsfunktion $F_{n}$ mit $F_{0}$ , mittels der Teststatistik

d_{n}=\|F_{n}-F_{0}\|=\sup _{x}|F_{n}(x)-F_{0}(x)|,

wobei sup das Supremum bezeichnet.

Nach dem Gliwenko-Cantelli-Satz strebt die empirische Verteilung gleichmäßig gegen die Verteilungsfunktion von $X$ (also unter $H_{0}$ gegen $F_{0}$ ). Unter $H_{1}$ sollte man also größere Werte bekommen als unter $H_{0}$ . Die Teststatistik ist unabhängig von der hypothetischen Verteilung $F_{0}$ . Ist der Wert der Teststatistik größer als der entsprechende tabellierte kritische Wert, so wird die Nullhypothese verworfen.

Vorgehensweise beim Einstichprobenproblem (Anpassungstest)

Von einer reellen Zufallsvariablen $X$ liegen $n$ Beobachtungswerte $x_{i}$ ( $i=1,\dotsc ,n$ ) vor, wobei angenommen werde, dass diese bereits aufsteigend sortiert sind: $x_{1}\leq x_{2}\leq \dotsb \leq x_{n}$ . Von diesen Beobachtungen wird die relative Summenfunktion (Summenhäufigkeit, empirische Verteilungsfunktion) $S(x_{i})$ ermittelt. Diese empirische Verteilung wird nun mit der entsprechenden hypothetischen Verteilung der Grundgesamtheit verglichen: Es wird der Wert der Wahrscheinlichkeitsverteilung an der Stelle $x_{i}$ bestimmt: $F_{0}(x_{i})$ . Wenn $X$ tatsächlich dieser Verteilung gehorcht, müssten die beobachtete Häufigkeit $S(x_{i})$ und die erwartete Häufigkeit $F_{0}(x_{i})$ in etwa gleich sein.

Falls $F_{0}$ stetig ist, kann die Teststatistik auf folgende Weise berechnet werden: Es werden für jedes $i=1,\dotsc ,n$ die absoluten Differenzen

d_{\mathrm {o} ,i}=|S(x_{i})-F_{0}(x_{i})|~

und

d_{\mathrm {u} ,i}=|S(x_{i-1})-F_{0}(x_{i})|~

berechnet("o" für oben, "u" für unten), wobei $S(x_{0}):=0$ gesetzt wird. Es wird sodann die absolut größte Differenz $d_{\mathrm {max} }$ aus allen Differenzen $d_{{o},i}$ , $d_{\mathrm {u} ,i}$ ermittelt. Wenn $d_{\mathrm {max} }$ einen kritischen Wert $d_{\alpha }$ übersteigt, wird die Hypothese bei einem Signifikanzniveau $\alpha$ abgelehnt.

Bis $n=35$ liegen die kritischen Werte tabelliert vor.^[1] Für größere $n$ können sie näherungsweise mit Hilfe der einfachen Formel $d_{\alpha }={\tfrac {\sqrt {-0{,}5\ln \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}{\sqrt {n}}}$ bestimmt werden.^[2] Aus dieser Näherungsformel ergeben sich dann beispielsweise die in der unten stehenden Tabelle aufgeführten Formeln für den Bereich $n>35$ .

${\textbf {Signifikanzniveau}}{\text{ }}{\boldsymbol {\alpha }}$	${\boldsymbol {d_{\alpha }}}$
$20{,}00{\text{ }}\%$	${\frac {1{,}073}{\sqrt {n}}}$
$10{,}00{\text{ }}\%$	${\frac {1{,}224}{\sqrt {n}}}$
$5{,}00{\text{ }}\%$	${\frac {1{,}358}{\sqrt {n}}}$
$2{,}00{\text{ }}\%$	${\frac {1{,}517}{\sqrt {n}}}$
$1{,}00{\text{ }}\%$	${\frac {1{,}628}{\sqrt {n}}}$
$0{,}10{\text{ }}\%$	${\frac {1{,}949}{\sqrt {n}}}$

Vorgehensweise beim Zweistichprobenproblem

Liegt nun zusätzlich zur obigen Zufallsvariablen $X$ eine entsprechende Zufallsvariable $Y$ vor (mit $m$ geordneten Werten $y_{i}$ ), so kann durch den Zweistichprobentest überprüft werden, ob $X$ und $Y$ derselben Verteilungsfunktion folgen. Die Hypothesen lauten:

Nullhypothese:

H_{0}\colon F_{X}(x)=F_{Y}(x)

(Die Zufallsvariablen $X$ und $Y$ besitzen die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung.)

Alternativhypothese:

H_{1}\colon F_{X}(x)\neq F_{Y}(x)

(Die Zufallsvariable $X$ besitzt eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung als $Y$ .)

Der Kolmogorow-Smirnow-Test vergleicht die empirische Verteilungsfunktionen (relativen Summenfunktionen) $F_{X,n}$ und $F_{Y,m}$ analog zum Einstichprobentest anhand ihrer absoluten Differenzen mittels der Teststatistik

d_{n,m}=\|F_{X,n}-F_{Y,m}\|=\sup _{x}|F_{X,n}(x)-F_{Y,m}(x)|

.

Die Nullhypothese wird bei einem Signifikanzniveau $\alpha$ abgelehnt, falls $d_{n,m}$ den kritischen Wert $d_{\mathrm {krit} }(\alpha ,n,m)$ überschreitet. Für kleine Werte von $n$ und $m$ liegen die kritischen Werte tabelliert vor ^[3]^[4]. Für große Werte von $n$ und $m$ wird die Nullhypothese abgelehnt, falls

{\sqrt {\frac {nm}{n+m}}}d_{n,m}>K_{\alpha }

,

wobei $K_{\alpha }$ für große $n$ und $m$ näherungsweise als $K_{\alpha }={\sqrt {\frac {\ln \left({\frac {2}{\alpha }}\right)}{2}}}$ berechnet werden kann.

Anwendungsbeispiele

Der Kolmogorow-Smirnow-Test kann zum Testen von Zufallszahlen genutzt werden, beispielsweise um zu prüfen, ob die Zufallszahlen einer bestimmten Verteilung (z. B. Gleichverteilung) folgen.
Einige (parametrische) statistische Verfahren setzen voraus, dass die untersuchten Variablen in der Grundgesamtheit normalverteilt sind. Der KSA-Test kann genutzt werden, um zu testen, ob diese Annahme verworfen werden muss oder (unter Beachtung des $\beta \,$ -Fehlers) beibehalten werden kann.

Zahlenbeispiel

In einem Unternehmen, das hochwertige Parfüms herstellt, wurde im Rahmen der Qualitätssicherung an einer Abfüllanlage die abgefüllte Menge für $n=8$ Flakons gemessen. Es ist das Merkmal $x$ : Abgefüllte Menge in ml.

Es soll geprüft werden, ob noch die bekannten Parameter der Verteilung von $X$ gelten.

Zunächst soll bei einem Signifikanzniveau $\alpha =0{,}05$ getestet werden, ob das Merkmal $X$ in der Grundgesamtheit überhaupt normalverteilt mit den bekannten Parametern $\mu =11$ und $\sigma ^{2}=\sigma =1$ ist, also

H_{0}:F(x)=F_{0}(x)=\Phi (x|11;1)

mit $\Phi$ als Normalverteilungssymbol. Es ergibt sich folgende Tabelle:

$i$	$x_{i}$	$S(x_{i})$	$F_{0}(x_{i})$	$S(x_{i-1})-F_{0}(x_{i})$	$S(x_{i})-F_{0}(x_{i})$
$1$	$9{,}41$	$0{,}125$	$0{,}056$	$-0{,}056$	$0{,}069$
$2$	$9{,}92$	$0{,}250$	$0{,}140$	$-0{,}015$	$0{,}110$
$3$	$11{,}55$	$0{,}375$	$0{,}709$	$\mathbf {-0{,}459}$	$-0{,}334$
$4$	$11{,}60$	$0{,}500$	$0{,}726$	$-0{,}351$	$-0{,}226$
$5$	$11{,}73$	$0{,}625$	$0{,}767$	$-0{,}267$	$-0{,}142$
$6$	$12{,}00$	$0{,}750$	$0{,}841$	$-0{,}216$	$-0{,}091$
$7$	$12{,}06$	$0{,}875$	$0{,}855$	$-0{,}105$	$0{,}020$
$8$	$13{,}02$	$1{,}000$	$0{,}978$	$-0{,}103$	$0{,}022$

Hier bezeichnen $x_{i}$ die $i$ -te Beobachtung, $S(x_{i})$ den Wert der Summenfunktion der $i$ -ten Beobachtung und $F_{0}(x_{i})$ den Wert der Normalverteilungsfunktion an der Stelle $x_{i}$ mit den genannten Parametern. Die nächsten Spalten geben die oben angeführten Differenzen an. Der kritische Wert, der bei $n=8$ und $\alpha =0{,}05$ zur Ablehnung führte, wäre der Betrag $0{,}454$ .^[1] Die größte absolute Abweichung in der Tabelle ist $0{,}459$ in der 3. Zeile. Dieser Wert ist größer als der kritische Wert, daher wird die Hypothese gerade noch abgelehnt. Es ist also zu vermuten, dass die Verteilungshypothese falsch ist. Das kann bedeuten, dass die abgefüllte Menge nicht mehr normalverteilt ist, dass sich die durchschnittliche Abfüllmenge $\mu$ verschoben hat oder auch, dass sich die Varianz $\sigma ^{2}$ der Abfüllmenge verändert hat.

Eigenschaften des KS-Tests

Beim Einstichprobenproblem ist der KS-Test im Gegensatz etwa zum $\chi ^{2}$ -Test auch für kleine Stichproben geeignet.^[5]

Der Kolmogorow-Smirnow-Test ist als nichtparametrischer Test sehr stabil und unanfällig. Ursprünglich wurde der Test für stetig verteilte metrische Merkmale entwickelt; er kann aber auch für diskrete und sogar rangskalierte Merkmale verwendet werden. In diesen Fällen ist der Test etwas weniger trennscharf, d. h. die Nullhypothese wird seltener abgelehnt als im stetigen Fall.

Ein großer Vorteil besteht darin, dass die zugrundeliegende Zufallsvariable keiner Normalverteilung folgen muss. Die Verteilung der Prüfgröße $d_{n}$ ist für alle (stetigen) Verteilungen identisch. Dies macht den Test vielseitig einsetzbar, bedingt aber auch seinen Nachteil, denn der KS-Test hat allgemein eine geringe Teststärke. Der Lilliefors-Test ist eine Anpassung des Kolmogorow-Smirnow-Tests für die Testung auf Normalverteilung. Mögliche Alternativen zum KS-Test sind der Cramér-von-Mises-Test, der für beide Anwendungsfälle geeignet ist, sowie der Anderson-Darling-Test für den Vergleich einer Stichprobe mit einer hypothetischen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Weblinks

Literatur

Lothar Sachs, Jürgen Hedderich: Angewandte Statistik. 12., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-32161-3.

Einzelnachweise

↑ ^a ^b Critical values for the Kolmogorov-Smirnov Test for goodness of fit. Archiviert vom Original am 18. August 2016; abgerufen am 18. Dezember 2016.
↑ Lothar Sachs, Jürgen Hedderich: Statistik: Angewandte Statistik. 12. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg 2006, S. 338.
↑ Biometrika Tables for Statisticians. Band 2. Cambridge University Press, 1972, S. 117–123, Tables 54, 55.
↑ Tabelle der kritischen Werte für den Zweistichprobentest (PDF; 177 kB)
↑ Jürgen Janssen, Wilfried Laatz: Statistische Datenanalyse mit SPSS für Windows. 6. Auflage. Springer, 2007, S. 569.

[TabelleUniKL-1] Critical values for the Kolmogorov-Smirnov Test for goodness of fit. Archiviert vom Original am 18. August 2016; abgerufen am 18. Dezember 2016.

[Sachs2006-2] Lothar Sachs, Jürgen Hedderich: Statistik: Angewandte Statistik. 12. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg 2006, S. 338.

[Pearson_&_Hartley-3] Biometrika Tables for Statisticians. Band 2. Cambridge University Press, 1972, S. 117–123, Tables 54, 55.

[TabelleTwoSample-4] Tabelle der kritischen Werte für den Zweistichprobentest (PDF; 177 kB)

[Janssen2007-5] Jürgen Janssen, Wilfried Laatz: Statistische Datenanalyse mit SPSS für Windows. 6. Auflage. Springer, 2007, S. 569.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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 == Anwendungsbeispiele ==
-* Der Kolmogorow-Smirnow-Test kann zum Testen von [[Zufallszahl]]en genutzt werden, beispielsweise um zu prüfen, ob die Zufallszahlen einer bestimmten Verteilung (z.B. [[Gleichverteilung]]) folgen.
+* Der Kolmogorow-Smirnow-Test kann zum Testen von [[Zufallszahl]]en genutzt werden, beispielsweise um zu prüfen, ob die Zufallszahlen einer bestimmten Verteilung (z.&nbsp;B. [[Gleichverteilung]]) folgen.
 * Einige (parametrische) statistische Verfahren setzen voraus, dass die untersuchten Variablen in der Grundgesamtheit [[Normalverteilung|normalverteilt]] sind. Der KSA-Test kann genutzt werden, um zu testen, ob diese Annahme verworfen werden muss oder (unter Beachtung des [[Fehler 2. Art|<math>\beta\,</math>-Fehlers]]) beibehalten werden kann.
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 Beim Einstichprobenproblem ist der KS-Test im Gegensatz etwa zum [[Chi-Quadrat-Test|<math>\chi^2</math>-Test]] auch für kleine Stichproben geeignet.<ref name="Janssen2007">{{Literatur |Autor=Jürgen Janssen, Wilfried Laatz|Jahr=2007 |Titel=Statistische Datenanalyse mit SPSS für Windows|Auflage=6. |Verlag=Springer |Seiten=569}}</ref>
-Der Kolmogorow-Smirnow-Test ist als ''nichtparametrischer Test'' sehr stabil und unanfällig. Ursprünglich wurde der Test für stetig verteilte metrische Merkmale entwickelt; er kann aber auch für diskrete und sogar rangskalierte Merkmale verwendet werden. In diesen Fällen ist der Test etwas weniger trennscharf, d.h. die Nullhypothese wird seltener abgelehnt als im stetigen Fall.
+Der Kolmogorow-Smirnow-Test ist als ''nichtparametrischer Test'' sehr stabil und unanfällig. Ursprünglich wurde der Test für stetig verteilte metrische Merkmale entwickelt; er kann aber auch für diskrete und sogar rangskalierte Merkmale verwendet werden. In diesen Fällen ist der Test etwas weniger trennscharf, d.&nbsp;h. die Nullhypothese wird seltener abgelehnt als im stetigen Fall.
 Ein großer Vorteil besteht darin, dass die zugrundeliegende Zufallsvariable keiner [[Normalverteilung]] folgen muss. Die Verteilung der Prüfgröße <math>d_n</math> ist ''für alle'' ([[stetig]]en) Verteilungen identisch. Dies macht den Test vielseitig einsetzbar, bedingt aber auch seinen Nachteil, denn der KS-Test hat allgemein eine geringe [[Teststärke]]. Der [[Lilliefors-Test]] ist eine Anpassung des Kolmogorow-Smirnow-Tests für die Testung auf Normalverteilung. Mögliche Alternativen zum KS-Test sind der [[Cramér-von-Mises-Test]], der für beide Anwendungsfälle geeignet ist, sowie der [[Anderson-Darling-Test]] für den Vergleich einer Stichprobe mit einer hypothetischen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Land Baden-Württemberg

„Kolmogorow-Smirnow-Test“ – Versionsunterschied

Version vom 11. Februar 2018, 12:27 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Konzeption

Vorgehensweise beim Einstichprobenproblem (Anpassungstest)

Vorgehensweise beim Zweistichprobenproblem

Anwendungsbeispiele

Zahlenbeispiel

Eigenschaften des KS-Tests

Weblinks

Literatur

Einzelnachweise

What are your Feelings

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Version vom 11. Februar 2018, 12:27 Uhr

Konzeption

Vorgehensweise beim Einstichprobenproblem (Anpassungstest)

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Einzelnachweise

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