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Als Basissatz wird in der theoretischen und der Computerchemie ein Satz an Funktionen (den sogenannten Basisfunktionen) bezeichnet, der dafür genutzt wird die elektonische Wellenfunktion in Hartree-Fock-Methoden oder der Dichtefunktionaltheorie zu repräsentieren um die partiellen Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen zu wandeln, die für effiziente Implementierungen auf einem Computer sinnvoll sind.

The use of basis sets is equivalent to the use of an approximate resolution of the identity.Vorlage:Clarify The single-particle states (molecular orbitals) are then expressed as linear combinations of the basis functions.

The basis set can either be composed of atomic orbitals (yielding the linear combination of atomic orbitals approach), which is the usual choice within the quantum chemistry community, or plane waves which are typically used within the solid state community. Several types of atomic orbitals can be used: Gaussian-type orbitals, Slater-type orbitals, or numerical atomic orbitals. Out of the three, Gaussian-type orbitals are by far the most often used, as they allow efficient implementations of Post-Hartree–Fock methods.

In der modernen Computerchemie werden quantenchemische Rechnungen mit einem endlichen Satz an Basisfunktionen ausgeführt. Wenn dieser endliche Satz in Richtung eines (unendlichen) vollständigen Satzes an Funktionen erweitert wird, calculations using such a basis set are said to approach the complete basis set (CBS) limit. In this article, basis function and atomic orbital are sometimes used interchangeably, although the basis functions are usually not true atomic orbitals, because many basis functions are used to describe polarization effects in molecules.

Within the basis set, the wavefunction is represented as a vector, the components of which correspond to coefficients of the basis functions in the linear expansion. In such a basis, one-electron operators correspond to matrices (a.k.a. rank two tensors), whereas two-electron operators are rank four tensors.

When molecular calculations are performed, it is common to use a basis composed of atomic orbitals, centered at each nucleus within the molecule (linear combination of atomic orbitals ansatz). The physically best motivated basis set are Slater-type orbitals (STOs), which are solutions to the Schrödinger equation of hydrogen-like atoms, and decay exponentially far away from the nucleus. It can be shown that the molecular orbitals of Hartree-Fock and density-functional theory also exhibit exponential decay. Furthermore, S-type STOs also satisfy Kato's cusp condition at the nucleus, meaning that they are able to accurately describe electron density near the nucleus. However, hydrogen-like atoms lack many-electron interactions, thus the orbitals do not accurately describe electron state correlations.

Unfortunately, calculating integrals with STOs is computationally difficult and it was later realized by Frank Boys that STOs could be approximated as linear combinations of Gaussian-type orbitals (GTOs) instead. Because the product of two GTOs can be written as a linear combination of GTOs, integrals with Gaussian basis functions can be written in closed form, which leads to huge computational savings (see John Pople).

Dozens of Gaussian-type orbital basis sets have been published in the literature.^[1] Basis sets typically come in hierarchies of increasing size, giving a controlled way to obtain more accurate solutions, however at a higher cost.

The smallest basis sets are called minimal basis sets. A minimal basis set is one in which, on each atom in the molecule, a single basis function is used for each orbital in a Hartree–Fock calculation on the free atom. For atoms such as lithium, basis functions of p type are also added to the basis functions that correspond to the 1s and 2s orbitals of the free atom, because lithium also has a 1s2p bound state. For example, each atom in the second period of the periodic system (Li - Ne) would have a basis set of five functions (two s functions and three p functions).

The minimal basis set is close to exact for the gas-phase atom. In the next level, additional functions are added to describe polarization of the electron density of the atom in molecules. These are called polarization functions. For example, while the minimal basis set for hydrogen is one function approximating the 1s atomic orbital, a simple polarized basis set typically has two s- and one p-function (which consists of three basis functions: px, py and pz). This adds flexibility to the basis set, effectively allowing molecular orbitals involving the hydrogen atom to be more asymmetric about the hydrogen nucleus. This is very important for modeling chemical bonding, because the bonds are often polarized. Similarly, d-type functions can be added to a basis set with valence p orbitals, and f-functions to a basis set with d-type orbitals, and so on.

Another common addition to basis sets is the addition of diffuse functions. These are extended Gaussian basis functions with a small exponent, which give flexibility to the "tail" portion of the atomic orbitals, far away from the nucleus. Diffuse basis functions are important for describing anions or dipole moments, but they can also be important for accurate modeling of intra- and intermolecular bonding.

Die am weitest verbreiteten minimalen Basissätze sind die STO-nG-Basissätze (Slater Type Orbital), wobei n hierbei ganzzahlig ist. Dieser n-Wert repräsentiert die Anzahl an primitiven Gaußfunktionen (G) aus denen eine einzige Basisfunktion besteht. In dieses Basissätzen umfasst die selbe Anzahl an primitiven Gaußfunktionen sowohl die Kern- als auch die Valenzorbitale. Minimale Basissätze führen typischerweise zu ungefähren Ergebnissen, die für eine qualitative Publikation ungenügens sind, allerdings sind sie deutlich günstiger als ihre größeren Pendanten. Häufig verwendete minimale Basissätze dieses Typs sind:

• STO-3G
• STO-4G
• STO-6G
• STO-3G* - Polarisierte Version von STO-3G

Es werden jedoch auch noch eine Vielzahl an weiteren minimalen Basissätzen wie MidiX genutzt.

In den meisten molekularen Bindungen übernehmen die Valenzelektronen den größen Anteil an der Bindung. Aus diesem Grund ist es üblich die Valenzorbitale von mehr als einer Basisfunktion abbilden zu lassen (split-valence), wobei jede von diesen wiederum aus einer festen Linearkombination von primitiven Gaußfunktionen zusammengesetzt sein kann. Basissätze in denen mehrere Basisfunktionen zu einem Valenzorbital gehören werden als Valenz-double-zeta, triple-zeta, quadruple-zeta und so weiter Basissätze bezeichnet. Zeta, ζ, wurde weithin gebraucht um den Exponenten einer STO Basisfunktion darzustellen.^[3] Da die unterschiedlichen Orbitale der Aufteilung eine unterschiedliche räumliche Ausdehnung aufweisen, erlaubt die Kombination der Elektronendichte die räumliche Ausdehnung so anzupassen, dass sie zu der jeweiligen molekularen Umgebung passt. Im Gegensatz dazu fehlt den minimalen Basissätzen diese Flexibilität.

Die Nomenklatur dieser split-valence-Basissätze entspringt der Arbeitsgruppe von John Pople und lautet typischerweise X-YZg.^[4] Dabei steht X für die Anzahl an primitiven Gaußfunkionen aus denen sich jede Basisfunktion der Kernatomorbitale zusammensetzt. Y and Z geben an, dass sich die Valenzorbitale aus je zwei Basisfunktionen ergeben. Die eine setzt sich wiederum aus einer Linearkombination von Y, die andere aus einer Linarkombination aus Z primitiven Gaußfunktionen. In diesem Fall beinhaltet die Zahl nach dem Bindestrich, dass es sich um einen split-valence double-zeta Basissatz handelt. Split-valence triple- and quadruple-zeta Basissätze werden ebenfalls genutzt und in der Form X-YZWg, X-YZWVg beschrieben. Häufig verwendete split-valence Basissätze dieser Art sind:

• 3-21G
• 3-21G* - Polarisationsfunktionen auf Schweratome
• 3-21G** - Polarisationsfunktionen auf Schweratome und Wasserstoff
• 3-21+G - Diffuse Funktionen auf Schweratome
• 3-21++G - Diffuse Funktionen auf Schweratome und Wasserstoff
• 3-21+G* - Polarisations- und diffuse Funktionen auf Schweratome
• 3-21+G** - Polarisationsfunktionen auf Schweratome und Wasserstoff und diffuse Funktionen nur auf Schweratome
• 4-21G
• 4-31G
• 6-21G
• 6-31G
• 6-31G*
• 6-31+G*
• 6-31G(3df, 3pd)
• 6-311G
• 6-311G*
• 6-311+G*

Der 6-31G* Basissatz ist für die Atome Wasserstoff bis Zink definiert und ein polarisierter split-valence double-zeta Basissatz, der im Vergleich zum 6-31G Basissatz noch sechs weitere d-artige kartesische Gaußpolarisationsfunktionen für jedes der Atome Lithium bis Calcium und zehn weitere f-artige kartesische Gaußpolarisationsfunktionen für jedes der Atome Scandium bis Zink aufweist.

Heutzutage gelten die Pople Basissätze als veraltet, da correlation-consistent oder polarization-consistent Basissätze unter Zuhilfenahme ähnlicher Ressourcen typischerweise zu besseren Ergebnissen führt. Außerdem sollte angemerkt werden, dass einige Pople-Basissätze schwerwiegende Defizite aufweisen, die zu falschen Ergebnissen führen können.^[5]

Einige der am weitest verbreitetsten Basissätze sind diejenigen, die von Thom Dunning und seinen Mitarbeitern entwickelt wurden,^[6] da sie dazu designed wurden, Post-Hartree-Fock-Rechnungen systematisch an das Basissatzlimit zu konvergieren und dabei empirische Extrapolationstechnicken nutzen.

Für die Atome der ersten und zweiten Periode heißen sie cc-pVNZ, wobei N=D,T,Q,5,6 und so weiter ist, was entsprechend der allgemeinen Nomenklatur für double, triple, etc. steht. Das "cc-p" ist die Abkürzung für correlation-consistent polarized (deutsch: korrelations-konsistent polarisiert) und das V zeigt an, dass es sich um valence-only Basissätze handelt. Sie beinhalten aufeinanderfolgende größere Schalen auf Basis von polarisations(abhängigen) Funktionen (d, f, g, ...). In jüngster Zeit haben sich diese correlation-consistent polarized Basissätze weit verbreitet und gelten als State of the art bei korrelations- oder Post-Hartee-Fock-Rechnungen. Beispiele für diese Klasse an Basissätzen sind folgende:

• cc-pVDZ - Double-zeta
• cc-pVTZ - Triple-zeta
• cc-pVQZ - Quadruple-zeta
• cc-pV5Z - Quintuple-zeta
• aug-cc-pVDZ, etc. - Erweiterte Versionen der vorhergegangenen Basissätze mit zusätzlichen diffusen Funktionen
• cc-pCVDZ - Double-zeta mit Kernkorrelation

Für die Atome der dritten Periode (Aluminium bis Argon), hat es sich herausgestellt, dass zusätzliche Funktionen notwendig sind, weswegen die cc-pV(N+d)Z-Basissätze entwickelt wurden. Noch größere Atome erfordern den Einsatz von pseudopotentialbasierten Basissätzen, cc-pVNZ-PP, oder den relativistisch-kontrahierten Douglas-Kroll-Basissätzen cc-pVNZ-DK.

Während die Dunning-Basissätze nur für valence-only Rechnungen dienen, können sie zum Beschreiben der Korrelation der Kernelektronen mit weiteren Funktionen ausgebaut werden. Diese core-valence Basissätze, cc-pCVXZ, können genutzt werden um eine Näherung für die Lösung des all-electron Problems zu bilden und sind für akkurate Berechnungen von Geometrie und Kerneigenschaften notwendig.

In der letzten Zeit wurde Außerdem der einsatz von gewichteten core-valence Basissätzen (cc-pwCVXZ) empfohlen. Diese gewichteten Basissätze zielen darauf ab die Kern-Valenz-Wechselwirkung unter Vernachlässigung der Kern-Kern-Wechselwirkungen einzubeziehen, um ähnlich akkurate Geometrien wie mit den cc-pCVXZ-Basissätzen zu erhalten, jedoch mit geringeren Kosten.

Außerdem können den oben genannten Basissätzen diffuse Funktionen zugefügt werden, um eine bessere Beschreibung von Anionen und Fernwechselwirkungen (zum Beispiel Van-der-Waals-Kräften) zu ermöglichen oder Rechnungen zu elektronischen Anregungszuständen oder Feldeigenschaften zu ermöglichen. Da gut bekannt ist, wie weitere Erweiterungsfunktionen (englisch: augmented functions) aufgebaut werden müssen, haben mindestens fünf verschiedene in Rechnungen der Fachliteratur zur zweiten Hyperpolarisierbarkeit Anwendung gefunden. Aufgrund der ausführlichen Konstruktion dieser Basissätze kann für fast jedes energetische Problem eine Extrapolation durchgeführt werden. Dennoch ist bei der Extrapolation von Energiedifferenzen Vorsicht geboten, da die einzelnen zur Gesamtenergie beitragenden Komponenten unterschiedlich konvergieren. Die Hartree-Fock-Energie konvergiert exponentiell, die Korrelationsenergie hingegen polynomisch.

Zum Verständnis, wie die Anzahl an Funktionen herausgefunden werden kann, sei hier cc-pVDZ am Beispiel von Wasserstoff aufgeführt: Es werden zwei s- (l = 0) und ein p-Orbital (l = 1) verwendet. Letzteres hat entlang der z-Achse für den Bahndrehimpuls drei mögliche Komponenten (m_L = -1,0,1), die mit p_x, p_y and p_z zusammenhängen. Also gibt es insgesamt 5 räumlich unterschiedliche Orbitale. Dabei kann jedes Orbital zwei Elektronen gegensätzlichen Spins beinhalten.

Argon hingegen hat 3 s-Orbitale (l = 0) und zwei Sätze an p-Orbitalen (l = 1). Die in cc-pVDZ verwendeten Orbitale sind [1s, 2s, 2p, 3s, 3s', 3p, 3p', 3d'], wobei ' für die hinzugefügten Polarisationsorbitale steht. Insgesamt folgen daher vier s-Orbitale (4 Basisfunktionen), drei Sätze aus je drei p-Orbitalen (9 Basisfunktionen) und ein Satz aus fünf räumlich unterschiedlichen d-Orbitalen (5 Basisfunktionen). Einfache Addition führt zu den 18 Funktionen des cc-pVDZ-Basissatzes für Argon.

Density-functional theory has recently become widely used in computational chemistry. However, the correlation-consistent basis sets described above are suboptimal for density-functional theory, because the correlation-consistent sets have been designed for Post-Hartree–Fock, while density-functional theory exhibits much more rapid basis set convergence than wave function methods.

Adopting a similar methodology to the correlation-consistent series, Frank Jensen introduced polarization-consistent (pc-n) basis sets as a way to quickly converge density functional theory calculations to the complete basis set limit.^[7] Like the Dunning sets, the pc-n sets can be combined with basis set extrapolation techniques to obtain CBS values.

The pc-n sets can be augmented with diffuse functions to obtain augpc-n sets.

Some of the various valence adaptations of Karlsruhe basis sets are

• def2-SV(P) - Split valence mit Polarisationsfunktion auf Schweratome (nicht auf Wasserstoff)
• def2-SVP - Split valence polarization
• def2-SVPD - Split valence polarization with diffuse functions
• def2-TZVP - Valence triple-zeta polarization
• def2-TZVPD - Valence triple-zeta polarization with diffuse functions
• def2-TZVPP - Valence triple-zeta with two sets of polarization functions
• def2-TZVPPD - Valence triple-zeta with two sets of polarization functions and a set of diffuse functions
• def2-QZVP - Valence quadruple-zeta polarization
• def2-QZVPD - Valence quadruple-zeta polarization with diffuse functions
• def2-QZVPP - Valence quadruple-zeta with two sets of polarization functions
• def2-QZVPPD - Valence quadruple-zeta with two sets of polarization functions and a set of diffuse functions

Gaussian-type orbital basis sets are typically optimized to reproduce the lowest possible energy for the systems used to train the basis set. However, the convergence of the energy does not imply convergence of other properties, such as nuclear magnetic shieldings, the dipole moment, or the electron momentum density, which probe different aspects of the electronic wave function.

Manninen and Vaara have proposed completeness-optimized basis sets,^[8] where the exponents are obtained by maximization of the one-electron completeness profile^[9] instead of minimization of the energy. Complenetess-optimized basis sets are a way to easily approach the complete basis set limit of any property at any level of theory, and the procedure is simple to automatize.^[10]

Completeness-optimized basis sets are tailored to a specific property. This way, the flexibility of the basis set can be focused on the computational demands of the chosen property, typically yielding much faster convergence to the complete basis set limit than is achievable with energy-optimized basis sets.

In addition to localized basis sets, plane-wave basis sets can also be used in quantum-chemical simulations. Typically, the choice of the plane wave basis set is based on a cutoff energy. The plane waves in the simulation cell that fit below the energy criterion are then included in the calculation. These basis sets are popular in calculations involving three-dimensional periodic boundary conditions.

The main advantage of a plane-wave basis is that it is guaranteed to converge in a smooth, monotonic manner to the target wavefunction. In contrast, when localized basis sets are used, monotonic convergence to the basis set limit may be difficult due to problems with over-completeness: in a large basis set, functions on different atoms start to look alike, and many eigenvalues of the overlap matrix approach zero.

In addition, certain integrals and operations are much easier to program and carry out with plane-wave basis functions than with their localized counterparts. For example, the kinetic energy operator is diagonal in the reciprocal space. Integrals over real-space operators can be efficiently carried out using fast Fourier transforms. The properties of the Fourier Transform allow a vector representing the gradient of the total energy with respect to the plane-wave coefficients to be calculated with a computational effort that scales as NPW*ln(NPW) where NPW is the number of plane-waves. When this property is combined with separable pseudopotentials of the Kleinman-Bylander type and pre-conditioned conjugate gradient solution techniques, the dynamic simulation of periodic problems containing hundreds of atoms becomes possible.

In practice, plane-wave basis sets are often used in combination with an 'effective core potential' or pseudopotential, so that the plane waves are only used to describe the valence charge density. This is because core electrons tend to be concentrated very close to the atomic nuclei, resulting in large wavefunction and density gradients near the nuclei which are not easily described by a plane-wave basis set unless a very high energy cutoff, and therefore small wavelength, is used. This combined method of a plane-wave basis set with a core pseudopotential is often abbreviated as a PSPW calculation.

Furthermore, as all functions in the basis are mutually orthogonal and are not associated with any particular atom, plane-wave basis sets do not exhibit basis-set superposition error. However, the plane-wave basis set is dependent on the size of the simulation cell, complicating cell size optimization.

Due to the assumption of periodic boundary conditions, plane-wave basis sets are less well suited to gas-phase calculations than localized basis sets. Large regions of vacuum need to be added on all sides of the gas-phase molecule in order to avoid interactions with the molecule and its periodic copies. However, the plane waves use a similar accuracy to describe the vacuum region as the region where the molecule is, meaning that obtaining the truly noninteracting limit may be computationally costly.

Analogous to the plane wave basis sets, where the basis functions are eigenfunctions of the momentum operator, there are basis sets whose functions are eigenfunctions of the position operator, that is, points on a uniform mesh in real space. The actual implementation may use finite differences, finite elements or Lagrange sinc-functions, or wavelets.

Sinc functions form an orthonormal, analytical, and complete basis set. The convergence to the complete basis set limit is systematic and relatively simple. Similarly to plane wave basis sets, the accuracy of sinc basis sets is controlled by an energy cutoff criterion.Vorlage:Citation needed

In the case of wavelets and finite elements, it is possible to make the mesh adaptive, so that more points are used close to the nuclei. Wavelets rely on the use of localized functions that allow for the development of linear-scaling methods.

• Drehimpuls
• Atomorbital
• Molekülorbitaltheorie

1. ↑ Frank Jensen: Atomic orbital basis sets. In: WIREs Comput. Mol. Sci. 3. Jahrgang, Nr. 3, 2013, S. 273–295, doi:10.1002/wcms.1123. 
2. ↑ Errol G. Lewars: Computational Chemistry: Introduction to the Theory and Applications of Molecular and Quantum Mechanics. 1st Auflage. Springer, 2003, ISBN 978-1-4020-7285-7. 
3. ↑ Ernest Davidson, Feller, David: Basis set selection for molecular calculations. In: Chem. Rev. 86. Jahrgang, Nr. 4, 1986, S. 681–696, doi:10.1021/cr00074a002. 
4. ↑ R Ditchfield, Hehre, W.J, Pople, J. A.: Self-Consistent Molecular-Orbital Methods. IX. An Extended Gaussian-Type Basis for Molecular-Orbital Studies of Organic Molecules. In: J. Chem. Phys. 54. Jahrgang, Nr. 2, 1971, S. 724–728, doi:10.1063/1.1674902, bibcode:1971JChPh..54..724D. 
5. ↑ Damian Moran, Andrew C. Simmonett, Franklin E. III Leach, Wesley D. Allen, Paul v. R. Schleyer, Henry F. Schaefer: Popular theoretical methods predict benzene and arenes to be nonplanar. In: J. Am. Chem. Soc. 128. Jahrgang, Nr. 29, 2006, S. 9342–9343, doi:10.1021/ja0630285. 
6. ↑ Thomas H. Dunning: Gaussian basis sets for use in correlated molecular calculations. I. The atoms boron through neon and hydrogen. In: J. Chem. Phys. 90. Jahrgang, Nr. 2, 1989, S. 1007–1023, doi:10.1063/1.456153, bibcode:1989JChPh..90.1007D. 
7. ↑ Frank Jensen: Polarization consistent basis sets: Principles. In: J. Chem. Phys. 115. Jahrgang, Nr. 20, 2001, S. 9113–9125, doi:10.1063/1.1413524, bibcode:2001JChPh.115.9113J. 
8. ↑ Pekka Manninen, Juha Vaara: Systematic Gaussian basis-set limit using completeness-optimized primitive sets. A case for magnetic properties. In: J. Comput. Chem. 27. Jahrgang, Nr. 4, 2006, S. 434–445, doi:10.1002/jcc.20358, PMID 16419020. 
9. ↑ Delano P. Chong: Completeness profiles of one-electron basis sets. In: Can. J. Chem. 73. Jahrgang, Nr. 1, 1995, S. 79–83, doi:10.1139/v95-011. 
10. ↑ Susi Lehtola: Automatic algorithms for completeness-optimization of Gaussian basis sets. In: J. Comput. Chem. 36. Jahrgang, Nr. 5, 2015, S. 335–347, doi:10.1002/jcc.23802. 

Die zahlreichen hier diskutierten Basissätze und andere werden in den Quellen unten mit Referenz auf die Originalartikel besprochen:

• Ira N. Levine: Quantum Chemistry. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New jersey 1991, ISBN 978-0-205-12770-2, S. 461–466. 
• Christopher J. Cramer: Essentials of Computational Chemistry. John Wiley & Sons, Ltd., Chichester 2002, ISBN 978-0-471-48552-0, S. 154–168. 
• Frank Jensen: Introduction to Computational Chemistry. John Wiley and Sons, 1999, ISBN 978-0-471-98085-8, S. 150–176. 
• Andrew R. Leach: Molecular Modelling: Principles and Applications. Longman, Singapore 1996, ISBN 978-0-582-23933-3, S. 68–77. 
• Warren J.. Hehre: A Guide to Molecular Mechanics and Quantum Chemical Calculations. Wavefunction, Inc., Irvine, California 2003, ISBN 978-1-890661-18-2, S. 40–47. 
• https://web.archive.org/web/20070830043639/http://www.chem.swin.edu.au/modules/mod8/basis1.html
• Damian Moran, Andrew C. Simmonett, Franklin E. Leach, Wesley D. Allen, Paul v. R. Schleyer, Henry F. Schaefer: Popular Theoretical Methods Predict Benzene and Arenes To Be Nonplanar. In: Journal of the American Chemical Society. 128. Jahrgang, Nr. 29, 2006, S. 9342–3, doi:10.1021/ja0630285, PMID 16848464. 
• Sunghwan Choi, Hong Kwangwoo, Kim Jaewook, Kim Woo Youn: Accuracy of Lagrange-sinc functions as a basis set for electronic structure calculations of atoms and molecules. In: The Journal of Chemical Physics. 142. Jahrgang, Nr. 9, 2015, S. 094116, doi:10.1063/1.4913569, PMID 25747070, bibcode:2015JChPh.142i4116C. 

• EMSL Basis Set Exchange
• TURBOMOLE basis set library
• CRYSTAL - Basis Sets Library
• Dyall Basis Sets Library
• Peterson Group Correlation Consistent Basis Sets
• Sapporo Segmented Gaussian Basis Sets Library
• Stuttgart/Cologne energy-consistent (ab initio) pseudopotentials Library
• ChemViz - Basis Sets Lab Activity

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