Apéry-Konstante

Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen.

Bitte hilf mit, die Mängel dieses Artikels zu beseitigen, und beteilige dich bitte an der Diskussion! ()

Die Apéry-Konstante ist eine mathematische Konstante, die als Wert der Reihe

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots

definiert ist. Das ist der Wert $\zeta (3)$ der riemannschen ζ-Funktion an der Stelle 3.

Grundlegendes

Ein Näherungswert ist

\zeta (3)=1,20205{\text{ }}69031{\text{ }}59594{\text{ }}28539{\text{ }}97381{\text{ }}61511{\text{ }}44999{\text{ }}07649{\text{ }}86292{\text{ }}34049{\text{ }}...

(Folge A002117 in OEIS).

Derzeit (Stand 17. November 2010) sind 10¹¹ dezimale Nachkommastellen bekannt.^[1]

Die Konstante wurde schon 1735 von Euler betrachtet.^[2] Sie ist nach Roger Apéry benannt, der 1979 bewies, dass sie irrational ist.^[3] Ob sie auch transzendent ist, ist bisher nicht bekannt, auch nicht, ob sie normal ist^[4] oder ob ζ(3)/π³ irrational ist^[5] (mit Kreiszahl π). Über die Werte der Zetafunktion bei weiteren ungeraden natürlichen Zahlen weiß man – im Gegensatz zu den Werten bei geraden Zahlen – wenig: Es müssen unendlich viele der Zahlen ζ(2n+1), n = 1, 2, 3 …, irrational sein,^[6] dabei mindestens eine von ζ(5), ζ(7), ζ(9) und ζ(11).^[7]

Für das Irrationalitätsmaß r(ξ) = inf R, wobei R die Menge der positiven reellen Zahlen r ist, für die höchstens endlich viele Paare positiver ganzer Zahlen p und q mit 0 < |ξ−p/q| < 1/q^r existieren, sind die Schranken 2 ≤ r(ζ(3)) < 5,513891 bekannt,^[8] insbesondere ist ζ(3) nicht liouvillesch.

Der Kehrwert 1/ζ(3) = 0,83190 73725 80707 46868 … (Folge A088453 in OEIS) ist die Wahrscheinlichkeit, dass drei ganze Zahlen teilerfremd sind, und ebenso die Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl kubikfrei (nicht durch eine Kubikzahl größer 1 teilbar) ist. Dies sind Spezialfälle davon, dass n ganze Zahlen mit Wahrscheinlichkeit 1/ζ(n k) keine k-te Potenz größer 1 als gemeinsamen Teiler haben,^[9] formal (mit den Symbolen {...|...}, |...|, |...|, ∈, ∣, ∄, <, >, ℤ, lim):

\lim _{N\to \infty }{\frac {\left|\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}\mid |x_{1}|<N,\ldots ,|x_{n}|<N,\nexists i>1:i^{k}\mid x_{1},\ldots ,i^{k}\mid x_{n}\}\right|}{\left|\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}\mid |x_{1}|<N,\ldots ,|x_{n}|<N\}\right|}}={\frac {1}{\zeta (nk)}}\ .

Reihendarstellungen

Apéry verwendete die Formel

\zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{3}{\binom {2n}{n}}}}.

Ein bereits Euler bekanntes Resultat ist

\zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{2}}}

mit den harmonischen Zahlen $H_{n}$ . Zahlreiche verwandte Formeln wie

\zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{ij(i+j)}}

führen ebenfalls zur Apéry-Konstante.^[10] Aus $\zeta (z)/2^{z}=\lambda (z)/(2^{z}-1)=\eta (z)/(2^{z}-2)$ mit der dirichletschen λ- und η-Funktion erhält man

\zeta (3)={\frac {8}{7}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}={\frac {4}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{3}}}.

Eine schnell konvergierende Reihe stammt von Tewodros Amdeberhan und Doron Zeilberger (1997):^[11]^[12]

\zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {A(n)\cdot (2n+1)!^{3}\cdot (2n)!^{3}\cdot n!^{3}}{(3n+2)!\cdot (4n+3)!^{3}}}

mit $A(n)=126392n^{5}+412708n^{4}+531578n^{3}+336367n^{2}+104000n+12463$ .

Nach Matyáš Lerch (1900):^[13]

\zeta (3)={\frac {7\pi ^{3}}{180}}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}.

Simon Plouffe entwickelte diesen Ausdruck weiter:^[14]

\zeta (3)={\frac {\pi ^{3}}{28}}+{\frac {16}{7}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{\pi n}+1)}}-{\frac {2}{7}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}+1)}}

\zeta (3)=28\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{\pi n}-1)}}-37\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}+7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{4\pi n}-1)}}.

Weitere Formeln

Eine Verbindung zu den Primzahlen ist

\zeta (3)=\prod _{p\ \mathrm {prim} }{\frac {1}{1-p^{-3}}}

als Spezialfall des Euler-Produkts (Euler 1737).^[15]

Auch existieren verschiedene Integraldarstellungen. Beispiele sind:

\zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z}{1-xyz}}

\zeta (3)={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\mathrm {d} x.

Sie taucht ebenfalls als ein Spezialfall der zweiten Polygammafunktion auf, es gilt nämlich:

\zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\psi _{2}(1).

Literatur

Frits Beukers: A note on the irrationality of $\zeta (2)$ and $\zeta (3)$ . Bulletin of the London Mathematical Society 11, Oktober 1979, S. 268–272 (englisch)
Alfred van der Poorten: A proof that Euler missed … Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report, The Mathematical Intelligencer 1, Dezember 1979, S. 195–203 (englisch; auf van der Poortens Homepage mit Postskripta: Alf’s reprints. Paper 45, PDF-Datei, 205 kB)
Steven R. Finch: Apéry’s constant, Kapitel 1.6 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 40–53 (englisch)

Einzelnachweise

↑ Large Computations von Alexander J. Yee, 17. September 2010 (englisch)
↑ Leonhard Euler: Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13. Oktober 1735), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 8, 1741, S. 9–22 (lateinisch; „1,202056903159594“ auf S. 21)
↑ Roger Apéry: Irrationalité de $\zeta (2)$ et $\zeta (3)$ . Astérisque 61, 1979, S. 11–13 (französisch)
↑ David H. Bailey, Richard E. Crandall: Random generators and normal numbers (PDF-Datei, 399kB), Experimental Mathematics 11, 2002, S. 527–546 (englisch)
↑ Finch: Apéry’s constant, 2003, S. 41 (englisch)
↑ Tanguy Rivoal: La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs, Comptes rendus de l’Académie des sciences Série I 331, 2000, S. 267–270 (französisch; arxiv:math/0008051v1)
↑ W. W. Zudilin: One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational, Russian Mathematical Surveys 56, 2001, S. 774–776 (englisch)
↑ Georges Rhin, Carlo Viola: The group structure for ζ(3), Acta Arithmetica 97, 2001, S. 269–293 (englisch)
↑ ITEM 53 (Salamin) aus M. Beeler, R. W. Gosper, R. Schroeppel: HAKMEM, MIT AI Memo 239, 29. Februar 1972 (englisch)
↑ Walther Janous: Around Apéry’s constant, Journal of inequalities in pure and applied mathematics 7, 2006, Artikel 35 (englisch)
↑ Tewodros Amdeberhan, Doron Zeilberger: Hypergeometric series acceleration via the WZ method, The Electronic Journal of Combinatorics 4(2), 1997 (englisch)
↑ The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places im Project Gutenberg (englisch)
↑ Matyáš Lerch: Sur la fonction ζ(s) pour les valeurs impaires de l’argument, Jornal de sciencias mathematicas e astronomicas 14, 1900, S. 65–69 (französisch; Jahrbuch-Zusammenfassung)
↑ Identities inspired by Ramanujan Notebooks (part 2) von Simon Plouffe, April 2006 (englisch)
↑ Leonhard Euler: Variae observationes circa series infinitas (25. April 1737), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 9, 1744, S. 160–188 (lateinisch; Euler-Produkt als „Theorema 8“ auf S. 174f.)

Weblinks

Irrationalität von Zeta(3) im Beweisarchiv (alternativer Beweis nach Frits Beukers)
Eric W. Weisstein: Apéry’s Constant. In: MathWorld (englisch).
Folge A013631 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von ζ(3))
Folge A053980 in OEIS (Engel-Entwicklung von ζ(3))

[1] Large Computations von Alexander J. Yee, 17. September 2010 (englisch)

[2] Leonhard Euler: Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13. Oktober 1735), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 8, 1741, S. 9–22 (lateinisch; „1,202056903159594“ auf S. 21)

[3] Roger Apéry: Irrationalité de $\zeta (2)$ et $\zeta (3)$ . Astérisque 61, 1979, S. 11–13 (französisch)

[4] David H. Bailey, Richard E. Crandall: Random generators and normal numbers (PDF-Datei, 399kB), Experimental Mathematics 11, 2002, S. 527–546 (englisch)

[5] Finch: Apéry’s constant, 2003, S. 41 (englisch)

[6] Tanguy Rivoal: La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs, Comptes rendus de l’Académie des sciences Série I 331, 2000, S. 267–270 (französisch; arxiv:math/0008051v1)

[7] W. W. Zudilin: One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational, Russian Mathematical Surveys 56, 2001, S. 774–776 (englisch)

[8] Georges Rhin, Carlo Viola: The group structure for ζ(3), Acta Arithmetica 97, 2001, S. 269–293 (englisch)

[9] ITEM 53 (Salamin) aus M. Beeler, R. W. Gosper, R. Schroeppel: HAKMEM, MIT AI Memo 239, 29. Februar 1972 (englisch)

[10] Walther Janous: Around Apéry’s constant, Journal of inequalities in pure and applied mathematics 7, 2006, Artikel 35 (englisch)

[11] Tewodros Amdeberhan, Doron Zeilberger: Hypergeometric series acceleration via the WZ method, The Electronic Journal of Combinatorics 4(2), 1997 (englisch)

[12] The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places im Project Gutenberg (englisch)

[13] Matyáš Lerch: Sur la fonction ζ(s) pour les valeurs impaires de l’argument, Jornal de sciencias mathematicas e astronomicas 14, 1900, S. 65–69 (französisch; Jahrbuch-Zusammenfassung)

[14] Identities inspired by Ramanujan Notebooks (part 2) von Simon Plouffe, April 2006 (englisch)

[15] Leonhard Euler: Variae observationes circa series infinitas (25. April 1737), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 9, 1744, S. 160–188 (lateinisch; Euler-Produkt als „Theorema 8“ auf S. 174f.)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

Land Baden-Württemberg

Apéry-Konstante

Inhaltsverzeichnis

Grundlegendes

Reihendarstellungen

Weitere Formeln

Literatur

Einzelnachweise

Weblinks

What are your Feelings

Apéry-Konstante

Grundlegendes

Reihendarstellungen

Weitere Formeln

Literatur

Einzelnachweise

Weblinks

What are your Feelings

Share This Article :