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Das Akronym ARMA (AutoRegressive-Moving Average) und die daran angelehnten Kunstwörter ARMAX und ARIMA bezeichnen lineare Modelle für stationäre, zeitdiskrete stochastische Prozesse. Sie werden zur Zeitreihenanalyse in der Messtechnik, in der Statistik und dort insbesondere in der Ökonometrie eingesetzt. Da sie eine zentrale Rolle in der Box-Jenkins-Methode spielen, sind sie dort auch unter dem Namen Box-Jenkins-Modelle bekannt. Die Prognosemodelle der Wirtschaftsinstitute und Banken sind in der Regel aus ARMA-Modellen zusammengesetzt. Man kann diese Modelle auch als lineare Differenzengleichungen bzw. Differenzengleichungssysteme ansehen. Die durch sie definierten Prozesse werden zusammenfassend auch als lineare stochastische Prozesse bezeichnet.

In das Modell fließen Rauschterme und gewichtete frühere Werte der Zeitreihe linear ein. ARMA-Modelle sind eines der Hauptwerkzeuge zur Vorhersage von beobachteten, stochastischen Signalen. Sind die zu modellierenden Signale nicht stationär, dann muss man sie gegebenenfalls vor der Modellierung differenzieren, um den Trend zu beseitigen.

Das Signal setzt sich aus einem durch ein gleitendes Mittel (Moving Average) der Länge m geglätteten Signal, einer (nicht direkt messbaren) anderen Zeitreihe und einem Rauschterm (j=0) zusammen.

Siehe auch: FIR-Filter finite impulse response filter zu deutsch: Filter mit endlicher Impulsantwort

Das Signal setzt sich aus einem geglätteten Signal seiner n vorhergehenden Werte und einem Rauschterm zusammen.

Siehe auch: IIR-Filter (Infinite Impulse Response-Filter)

Dieses Modell wird auch als ARMA(n,m)-Modell bezeichnet, wobei n und m die Ordnung des Prozesses heißen.
Mit Hilfe des so genannten Verschiebungsoperators L (von lag=Zeitverschiebung):

schreibt man kürzer auch:

wobei und θ beides endliche Polynome (der Grade n und m) darstellen:

ist ein so genanntes weißes Rauschen, eine Zufallsvariable, die für alle paarweise unabhängig und identisch (meist gauß-)verteilt ist mit Erwartungswert und der Varianz . Die Abhängigkeit beschränkt sich bei MA-Termen auf den Erwartungswert: Ist

dann wird lediglich der Erwartungswert von Y mit jedem Zeitschritt um verschoben. selbst ist stochastisch bestimmt.

Anders beim Auto-Regressionsteil: Hier ist deterministisch von der Vergangenheit abhängig. In

unterliegt genau dann einer Störung, wenn einer Störung unterliegt.

Regressionsmodelle spielen in der Statistik eine große Rolle. In der Ökonometrie müssen oft mehrere Zeitreihen der Form miteinander in Zusammenhang gebracht werden, die sog. Wirtschaftsindikatoren, also z. B. Zins, Arbeitslosigkeit, Investitionen usw. Man unterscheidet zwischen endogenen zeitabhängigen Variablen Y(t) (die also vom Modell erklärt werden) und exogenen Variablen X(t), die von außen definiert werden. Mit ihnen kann man das allgemeine lineare Gleichungssystem

formulieren. B, Y, A und X sind Matrizen mit sovielen Zeilen wie Beobachtungen und sovielen Spalten wie Variablen des jeweiligen Typs. Jeder Zeitpunkt zählt als Beobachtung. Geht ein und dieselbe Variable zu verschiedenen Zeitpunkten (also als Y(t), Y(t-1) usw.) in das Gleichungssystem ein, so zählt dies als mehrere Variablen. Die Gleichung hat also drei Variablen. Das ist entscheidend für die ARMA-Modelle. ist ein Vektor mit sovielen Zeilen wie Beobachtungen.

Ist der Regressor X dabei, spricht man von ARMAX-Modellen. Gehen nur die Differenzen von Y in das Modell ein, so dass hinterher die Modellprognosen wieder “integriert” werden müssen, so spricht man von ARIMA-Modellen, das I steht für "Integrated". Die Differenzen sollen hierbei für die Berechnung ein stationäres und um nicht-saisonale Trends bereinigtes Modell erzeugen.

Alle Modelle der ARMA-Familie haben dieses lineare Gleichungssystem zur Grundlage. Viele Systeme können mit einer einfachen linearen Regression geschätzt werden. Voraussetzung, dass die Standardfehler der Schätzer unverzerrt sind, ist, dass die Störterme von Y nicht autokorrelieren, da Korrelation der Fehler untereinander zwar nicht den Schätzer selbst, jedoch den zugehörigen Standardfehler verzerrt (meist wird er stark unterschätzt). Wenn Autoregressionsterme der Form

vorliegen, liegt in der Regel eine solche Autokorrelation der Störterme vor.

Das lineare Gleichungssystem wird um einen Term der Form

,

also um eine Autoregression der Fehlerterme erweitert. Praktisch spielen vor allem Erweiterungen der Ordnung 1:

eine Rolle. Das ist ein Markow-Prozess.

Der Begriff "MA" für solche rein stochastischen Prozesse ist eher irreführend. ARMA-Modelle sind also Simultan-Modelle für deterministische Zusammenhangsmodelle (AR-Anteil, entspricht Regressionsmodell) und stochastischen Prozessen (MA-Anteil).

ARMA-Modelle (auch ARMAX, ARIMA) werden durch nichtlineare Regressionsverfahren geschätzt.

Autokorrelation, Digitales Filter, X-12-ARIMA

• Box, G.E.P. und Jenkins, G.M.: Time series analysis: Forecasting and control. Holden-Day, San Francisco 1970
• McCleary, R. und Hay, R.A.: Applied Time Series Analysis for the Social Sciences. Sage Publications, Beverly Hills 1986
• Hamilton, James D.: Time Series Analysis. Princeton University Press, Princeton 1994
• Enders, W.: Applied Econometic Time Series. John Wiley & Sons INC. 1995
• Mills, Terence C.: The Econometric Modelling of Financial Time Series. 2nd Edition, Cambridge University Press 1999
• Tsay, Ruey S.: Analysis of Financial Time Series. 2nd Edition, Wiley Series in Prob. and Statistics 2005
• Stier, W.: Methoden der Zeitreihenanalyse. Springer 2001