Zwischen 1968 und 1974 nahm Redman an insgesamt 12 Formel-1-WM-Läufen teil. Sein bestes Ergebnis war der dritte Platz mit seinem Cooper-B.R.M. beim Grand Prix von Spanien 1968 hinter Graham Hill und Denis Hulme. Redman erreichte insgesamt acht WM-Punkte. Ein schwerer Unfall beim Großen Preis von Belgien 1968 zwang ihn zu einer mehr als ein Jahr langen Pause.
In seiner Karriere bestritt er 268 Sportwagenrennen. Mit 54 Gesamtsiegen bei nationalen und internationalen Rennen war er einer der erfolgreichsten Sportwagenpiloten der Motorsportgeschichte. Zu den Siegen kam 31 zweite und 24 dritte Plätze.
Neben den Rennen betätigte er sich als Instruktor in Rennschulen und hatte auch ein F3000-Team. Er ist Mit-Herausgeber eines Automagazins und lebt in Florida, USA. Bei historischen Rennen fährt er noch selbst mit. Er betreibt eine Vermarktungsagentur International Events.