Wilson-Primzahl

Wilson-Primzahlen (nach Sir John Wilson) sind Primzahlen , für die gilt, dass durch teilbar ist. Es handelt sich dabei um eine stärkere Form des Satzes von Wilson. Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563 bekannt.

Definition

Zur Notation siehe Fakultät, Teilbarkeit und Kongruenz

Der Satz von Wilson besagt, dass genau dann durch teilbar ist, wenn eine Primzahl ist. Für jede Primzahl gilt also:

Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:

oder

Das ganzzahlige Ergebnis der Division

wird in diesem Zusammenhang auch als Wilson-Quotient bezeichnet[1] (Folge A007619 in OEIS).

Eine Wilson-Primzahl ist nun jede Primzahl , die darüber hinaus sogar Teiler „ihres“ Wilson-Quotienten ist (und den Satz von Wilson damit quasi zweimal erfüllt).

Beweis

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei

  • ist

hat eine eindeutige Lösung

oder

  • ist

Annahme:

mit

Widerspruch: kann nicht gleichzeitig und teilen

Beispiel

Die Zahl ist ein Teiler von :

Also ist wegen des Satzes von Wilson eine Primzahl. Da sie ebenfalls ein Teiler des entsprechenden Wilson-Quotienten ist (36.846.277 13 = 2.834.329), ist sie sogar eine Wilson-Primzahl.

Die wiederholte Teilung entspricht der Division durch das Quadrat der Ausgangszahl. Analog zum Satz von Wilson gilt daher, dass jede Primzahl genau dann eine Wilson-Primzahl ist, wenn:

Beziehungsweise:

oder

Vorkommen

Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563[2] bekannt (Folge A007540 in OEIS). Sollten weitere Wilson-Primzahlen existieren, so sind sie größer als .[3] Es wird vermutet, dass unendlich viele Wilson-Primzahlen existieren, und zwar etwa zwischen und .[4][5]

Verallgemeinerungen

Wilson-Primzahlen der Ordnung n

Die Verallgemeinerung des Satzes von Wilson besagt, dass eine natürliche Zahl genau dann eine Primzahl ist, wenn für alle gilt:

Es ist also eine Primzahl, wenn ganzzahlig ist.

Eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung n ist eine Primzahl , für welche gilt:

ist Teiler von mit ,

Es ist also eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung n, wenn ganzzahlig ist.

Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:

oder

Es wird vermutet, dass es für jede natürliche Zahl unendlich viele verallgemeinerte Wilson-Primzahlen der Ordnung gibt.

Beispiel

Sei eine Primzahl und . Die Quadratzahl ist ein Teiler von :

Also ist ein Teiler des entsprechenden verallgemeinerten Wilson-Quotienten und ist deswegen eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung .

Der folgenden Tabelle kann man die verallgemeinerten Wilson-Primzahlen der Ordnung entnehmen für :

Primzahl , sodass Teiler
von
ist
OEIS-Link
15, 13, 563 …(Folge A007540 in OEIS)
22, 3, 11, 107, 4931 …(Folge A079853 in OEIS)
37 …
410429 …
55, 7, 47 …
611 …
717 …
8
9541 …
1011, 1109 …
1117, 2713 …
12
1313 …
14
15349 …
Primzahl , sodass Teiler
von
ist
OEIS-Link
1631 …
1761, 251, 479 …(Folge A152413 in OEIS)
1813151527 …
1971 …
2059, 499 …
21217369 …
22
23
2447, 3163 …
25
2697579 …
2753 …
28347 …
29
30137, 1109, 5179 …

Die kleinsten verallgemeinerten Wilson-Primzahlen der Ordnung lauten (bei aufsteigendem ):

5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17 … (Folge A128666 in OEIS)

Schon die nächste verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung ist nicht bekannt, muss aber größer als sein.

Fast-Wilson-Primzahlen

Eine Primzahl , welche die Kongruenz

mit betragsmäßig kleinem

erfüllt, nennt man Fast-Wilson-Primzahl (englisch Near-Wilson primes).

Ist , so erhält man und erhält die Wilson-Primzahlen.

Der folgenden Tabelle kann man alle solche Fast-Wilson-Primzahlen entnehmen für mit :[3]

1282279+20
1306817−30
1308491−55
1433813−32
1638347−45
1640147−88
1647931+14
1666403+99
1750901+34
1851953−50
2031053−18
2278343+21
2313083+15
2695933−73
3640753+69
3677071−32
3764437−99
3958621+75
5062469+39
5063803+40
6331519+91
6706067+45
7392257+40
8315831+3
8871167−85
9278443−75
9615329+27
9756727+23
10746881−7
11465149−62
11512541−26
11892977−7
12632117−27
12893203−53
14296621+2
16711069+95
16738091+58
17879887+63
19344553−93
19365641+75
20951477+25
20972977+58
21561013−90
23818681+23
27783521−51
27812887+21
29085907+9
29327513+13
30959321+24
33187157+60
33968041+12
39198017−7
45920923−63
51802061+4
53188379−54
56151923−1
57526411−66
64197799+13
72818227−27
87467099−2
91926437−32
92191909+94
93445061−30
93559087−3
94510219−69
101710369−70
111310567+22
117385529−43
176779259+56
212911781−92
216331463−36
253512533+25
282361201+24
327357841−62
411237857−84
479163953−50
757362197−28
824846833+60
866006431−81
1227886151−51
1527857939−19
1636804231+64
1686290297+18
1767839071+8
1913042311−65
1987272877+5
2100839597−34
2312420701−78
2476913683+94
3542985241−74
4036677373−5
4271431471+83
4296847931+41
5087988391+51
5127702389+50
7973760941+76
9965682053−18
10242692519−97
11355061259−45
11774118061−1
12896325149+86
13286279999+52
20042556601+27
21950810731+93
23607097193+97
24664241321+46
28737804211−58
35525054743+26
41659815553+55
42647052491+10
44034466379+39
60373446719−48
64643245189−21
66966581777+91
67133912011+9
80248324571+46
80908082573−20
100660783343+87
112825721339+70
231939720421+41
258818504023+4
260584487287−52
265784418461−78
298114694431+82

Wilson-Zahlen

Eine Wilson-Zahl ist eine natürliche Zahl , für welche gilt:

, mit

Dabei ist genau dann, wenn eine Primitivwurzel hat, sonst ist .

Für jede natürliche Zahl ist durch teilbar. Den Quotienten nennt man verallgemeinerter Wilson-Quotient.[6] Die ersten verallgemeinerte Wilson-Quotienten lauten:

2, 1, 1, 1, 5, 1, 103, 13, 249, 19, 329891, 32, 36846277, 1379, 59793, 126689, 1230752346353, 4727, 336967037143579, 436486, 2252263619, 56815333, 48869596859895986087, 1549256, 1654529071288638505 (Folge A157249 in OEIS)

Ist der verallgemeinerte Wilson-Quotient durch teilbar, erhält man eine Wilson-Zahl. Diese lauten:

1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158 (Folge A157250 in OEIS)

Wenn eine Wilson-Zahl prim ist, dann ist eine Wilson-Primzahl. Es gibt 13 Wilson-Zahlen für .

Literatur

Einzelnachweise

  1. Eric W. Weisstein: Wilson Quotient. In: MathWorld (englisch).
  2. Karl Goldberg: A table of Wilson quotients and the third Wilson prime. In: Journal of the London Mathematical Society, 28, April 1953, S. 252–256 (englisch)
  3. a b Edgar Costa, Robert Gerbicz, David Harvey: A search for Wilson primes. 27. Oktober 2012, S. 1–25, abgerufen am 1. Februar 2020.
  4. Richard Crandall, Karl Dilcher, Carl Pomerance: A search for Wieferich and Wilson primes. Mathematics of Computation 66, Januar 1997, S. 433–449 (englisch)
  5. Chris K. Caldwell: Wilson prime. The Prime Glossary (englisch).
  6. Takashi Agoh, Karl Dilcher, Ladislav Skula: Wilson Quotients for composite moduli. Mathematics of Computation 67 (222), April 1998, S. 843–861, abgerufen am 2. Februar 2020.